$2^n < n!$ の証明

数学的帰納法と性質を利用したもの二通りの証明

最終更新: 2020-12-18

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数学的帰納法と性質を利用したもの二通りの証明

$4 \le n$ において2のn乗はnの階乗より小さいことの証明。

数学的帰納法による証明

$4 \leq k$ における自然数 $k$ が $2^k < k!$ を満たすと仮定する。

このもとで $2^{k+1} < (k+1)!$ が成り立つことを示す。

$2^k < k!$ より以下が成り立つ。

$$ (k+1)! = (k+1)k! > (k+1) \cdot 2^k $$

$2 < 5 \leq k+1$ であるから

$$ (k+1)! > 2 \cdot 2^k $$

すなわち $2^{k+1} < (k+1)!$

$n=k$ を仮定すると $n=k+1$ でも成立することが示せた。

以上、数学的帰納法より自然数 $n (4 \leq n)$ において $2^n < n!$ が成り立つ。

性質を利用した証明

分数にして分母分子を比較し、1との大小関係を示す。

$$ \frac{n!}{2^n} = \frac{4!}{2^4} \frac{5}{2} \frac{6}{2} \frac{7}{2} \cdots \frac{n}{2} > 1 $$

それぞれの分数を見ると、分母より分子が大きいので1より大きい。 そして、1より大きいものは何回掛け合わせても1より大きい。

すなわち $4 \le n$ において $2^n < n!$ が成り立つ。

参考